„Elf układał kufle”, „kajak” – to palindromy słowne. A czy liczby naturalne też mogą być palindromami?

W tym artykule opowiemy o jednej z wielu hipotez o elementarnym sformułowaniu z zakresu teorii liczb, która wciąż pozostaje nierozstrzygnięta. Jest ona znana na świecie pod angielską nazwą palindromic number conjecture, polska nazwa jest tytułem tego artykułu. Zanim jednak omówimy hipotezę, musimy wyjaśnić dwa pojęcia: palindrom i kontrliczba.

Palindrom to napis, który jest taki sam, niezależnie od tego, od której strony się go czyta. Na przykład KAJAK, OKO, X77X, 12321, 4554. My będziemy rozważać liczby palindromiczne, tzn. palindromy będące liczbami naturalnymi.

Kontrliczba danej liczby naturalnej to liczba, która powstaje przez odwrócenie kolejności jej cyfr. Na przykład kontrliczbą liczby 1234 jest 4321, kontrliczbą 400 jest 4 (po odwróceniu mamy zera jako cyfry setek i dziesiątek), kontrliczbą 4 jest 4. Zatem liczba palindromiczna to taka, która jest równa swojej kontrliczbie.

Możemy już omówić tytułowy problem. W tym celu bierzemy dowolną liczbę naturalną, dodajemy do niej jej kontrliczbę, ale tylko w sytuacji, kiedy wzięta przez nas liczba naturalna nie jest palindromem. Jeśli jest palindromem, to koniec (nic z nią nie robimy). Po dodaniu do liczby naturalnej kontrliczby, patrzymy na otrzymaną sumę. Jeśli ta suma jest palindromem, to koniec (nic więcej nie robimy). Jeśli nie jest, to znów dodajemy do niej jej kontrliczbę itd. Oto przykład takiego ciągu operacji zaczynającego się od liczby 59:

Tytułowa hipoteza brzmi: niezależnie od liczby początkowej, po skończonej liczbie operacji polegających na dodawaniu do dowolnej liczby naturalnej niebędącej palindromem jej kontrliczby, otrzymamy liczbę palindromiczną (czyli po skończenie wielu krokach procedura się zatrzyma).

Bardziej skomplikowany od powyższego przykład: biorąc liczbę 89, dopiero po 24 operacjach otrzymamy palindrom (8813200023188), natomiast z liczby 19-cyfrowej 1186060307891929990 otrzymamy (119-cyfrowy) palindrom po 261 operacjach. Ale otrzymamy. Są jednak liczby, co do których nie mamy takiej pewności, bo choć za pomocą komputerów wykonano na nich tysiące operacji, to nie udało się dotąd otrzymać palindromu. Najmniejszym z takich wątpliwych przypadków jest liczba 196. Tutaj: http://oeis.org/A006960/b006960.txt można zobaczyć wynik pracy programu, który wykonał 2390 operacji i po żadnej nie otrzymano palindromu. Takie wątpliwe przypadki (jest ich więcej: http://oeis.org/A023108) nazywamy liczbami Lychrela.

Prawdopodobnie nie wiadomo, kto pierwszy sformułował omawiany problem. Jest on znany co najmniej od lat 70. XX wieku. Gdy komputerowe sprawdzenia ujawniły te wątpliwe przypadki, wielu matematyków zwątpiło w prawdziwość tej hipotezy. To jednak jeszcze o niczym nie świadczy, to są tylko przypuszczenia (tak jak i sama hipoteza). Aby stwierdzić, że jest ona fałszywa, trzeba udowodnić, że istnieje liczba, z której nigdy takimi operacjami palindromu się nie otrzyma. Tego nikt jeszcze nie zrobił. To, że z liczby 196 nie otrzymano palindromu po sprawdzonych dotąd 2390 (być może więcej) operacjach, nie oznacza przecież, że nie otrzymamy go nigdy. Problem jest więc otwarty.

Tekst: Krzysztof Kamiński

Fot. Alan Levine, źródło: www.flickr.com, dostęp: 24.08.2015

Bibliografia: 

http://mathworld.wolfram.com/PalindromicNumberConjecture.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Lychrel_number

Informacje o innych problemach związanych z powtarzaniem pewnych operacji na liczbach naturalnych, znajdziecie w materiałach na platformie:

http://platforma.eduscience.pl/lesson_elements/18706

http://platforma.eduscience.pl/lesson_elements/18708

http://platforma.eduscience.pl/lesson_elements/19506

Bardziej szczegółowe informacje na ich temat oraz kilkadziesiąt zadań (z rozwiązaniami) znajdziecie w książkach:

K. Kamiński, „Wybrane zagadnienia z matematycznych kółek olimpijskich”, Aksjomat, Toruń 2012.

K. Kamiński, „Od ciekawostek do konkursu matematycznego", Aksjomat, Toruń 2015.