Loty Levy'ego, czyli jak polują albatrosy - Artykuły naukowe

W 1827 roku szkocki botanik Robert Brown zaobserwował, spoglądając poprzez mikroskop, że małe cząstki zawiesiny wykonują nieregularne ruchy. Po wykonaniu dokładniejszych badań Brown doszedł do wniosku, że cząstki te poruszają się „same z siebie”. Jednak, gdy w latach czterdziestych XIX wieku sformułowano zasady termodynamiki, stało się oczywiste, że musi istnieć przyczyna ruchów cząstek, ponieważ w przyrodzie nie istnieje perpetum mobile.

Już w roku 1860 wysnuto hipotezę, że za obserwowane przez Browna ruchy cząstek odpowiedzialne są zderzenia z nimi atomów płynu. W latach 1905–1906 Albert Einstein i Marian Smoluchowski przedstawili wzajemnie uzupełniające się prace, przedstawiające pełne, matematyczne wyjaśnienie zagadnienia ruchów Browna. Było to także przekonujące potwierdzenie faktu istnienia atomów (co na ówczesne czasy wcale nie było oczywiste). Cząsteczki wody są dużo mniejsze od cząstek zawiesiny. Jest ich bardzo wiele i poruszają się stosunkowo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle samo bombardowanie, ile raczej fluktuacja ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny.

Fizyczny proces samorzutnego rozprzestrzeniania się cząsteczek w pewnym ośrodku, który jest konsekwencją chaotycznych zderzeń cząsteczek dyfundującej substancji z cząstkami otoczenia nazywamy dyfuzją. Dyfuzja jest zatem jednym z mechanizmów transportu. Charakterystyczną cechą procesu dyfuzji jest to, że średnia odległość R, o którą przemieszczana jest substancja z obszaru o podwyższonym stężeniu po dostatecznie długim czasie t jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego czasu:

Okazuje się jednak, że obok procesu opisanego powyżej, czyli procesu dyfuzji normalnej istnieje także zjawisko innej dyfuzji. Dla odróżnienia będziemy ją nazywać dyfuzją anomalną. W pewnych układach obserwuje się procesy, które w obrazie mikroskopowym składają się z szeregu charakterystycznych dla dyfuzji „chaotycznych” zderzeń, w których to jednak procesach obowiązuje zależność:

Zatem średnia odległość R, o którą przemieszcza się substancja w dostatecznie długim czasie proporcjonalna jest do czasu w potędze innej niż 1/2.

Co to wszystko jednak oznacza? Przyjrzyjmy się dokładnie (tak jakbyśmy to obserwowali pod mikroskopowym) torowi cząstek w przypadku dyfuzji normalnej. Mamy tutaj do czynienia z cząstkami, które małymi krokami błądzą w zawiesinie. Kroki te czasem są trochę dłuższe, czasem troszeczkę krótsze, niemniej jednak nie obserwujemy bardzo długich skoków.

Gdy przyjrzymy się obrazowi mikroskopowemu w przypadku dyfuzji anomalnej, stwierdzimy, że oprócz dużej ilości małych kroczków pojawiają się, od czasu do czasu, duże skoki. Te skoki zwane są lotami Levy’ego, od nazwiska francuskiego matematyka Paula Pierre’a Lévy’ego.

Zjawiska dyfuzji normalnej i anomalnej można także opisać i lepiej zrozumieć w formalizmie rozkładów prawdopodobieństwa. Brzmi to skomplikowanie, ale w gruncie rzeczy jest bardzo proste. Rozważmy w pierwszej kolejności dyfuzję normalną. Mamy tu do czynienia z dużą ilością małych kroków, pewną ilością średnich kroków i prawie nie ma bardzo długich kroków. Przedstawmy to na wykresie. Na osi poziomej zaznaczymy przesunięcie cząstki w jednym kroku wzdłuż wybranej osi (np. X), a na osi pionowej zaznaczymy, jak często takie przesunięcie występuje.

Powyższy wykres przedstawia krzywą Gaussa, czyli graficzną prezentację tzw. rozkładu Gaussa. Wykres ten jest niezwykle ważny nie tylko w obszarze fizyki, ale także w wielu innych dziedzinach nauki. Reprezentuje on np. rozkład ilorazu inteligencji w społeczeństwie lub ilości fotonów emitowanych przez laser. W przypadku dyfuzji anomalnej sytuacja wygląda jednak inaczej. Mamy tu dużo małych kroków, ale także pewną liczbę bardzo długich skoków. Ponownie przedstawmy to graficznie.

Powyższy wykres reprezentuje właśnie rozkład Levy’ego. Charakterystyczną cechą tego rozkładu są długie „ogony” występujące dla dużych wartości zmiennej X. Współczesne badania nad sposobami polowania morskich drapieżników, które przeprowadziły zespoły naukowców z Wielkiej Brytanii, Australii i Nowej Zelandii wykazały, że w celu znalezienia pożywienia bardziej efektywna jest strategia odzwierciedlająca ruchy cząstek przy dyfuzji anomalnej. Badania wykazały, że strategia ta daje największe prawdopodobieństwo napotkania pożywienia unoszącego się w wyspowatych, niejednorodnych ławicach. Warto zatem zrobić dużo drobnych ruchów tu i ówdzie, lecz od czasu do czasu przepłynąć w zupełnie inne, odległe miejsce. Niedawno na łamach prestiżowego czasopisma Nature toczyła się zaciekła dyskusja na temat strategii polowania albatrosów, która miałaby odzwierciedlać procesy dyfuzji anomalnej. Należy także zaznaczyć, że z takimi procesami mamy do czynienia nie tylko w naukach przyrodniczych, ale także np. w socjologii czy ekonomii.

Tekst: dr Jakub Bielecki