Jak zaciekawić uczniów matematyką…
Rzeka o szerokości 1 zakręca pod kątem prostym* jak na poniższym rysunku:
Tytułowy problem to pytanie o maksymalne pole tratwy, która może przez ten zakręt przepłynąć. Tratwa jest tu ścieżkowo spójnym podzbiorem płaszczyzny, tzn. zbiorem, którego każde dwa punkty można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.
Problem ten, tak prosty w sformułowaniu, prawdopodobnie nie został jeszcze rozwiązany. Znane jest jedynie górne oszacowanie pola tratwy mającej wymagane własności, oraz pewne przykłady coraz większych tratw. Informacje te prezentujemy poniżej.
Trywialnym przykładem dobrej tratwy jest kwadrat o boku 1. Ma on pole 1.
Półkole, lub ogólniej półokrągłe kształty, wydają się być niezłym pomysłem. Ciekawym przykładem o dość prostej budowie jest przedstawiona poniżej tratwa o polu
zbudowana z czterech kwadratów o boku 1/2 i czterech ćwiartek koła o promieniu 1/2, ułożonych w kształcie „motyla”, jak na rysunku poniżej.
Aby taką tratwą przepłynąć zakręt, należy dopłynąć do połowy zakrętu i zacząć skręcać.
Nieco inne podejście to użyć pierścieni. Rozważmy tratwy o wysokości 1 powstające przez odcięcie fragmentu pierścienia utworzonego przez dwa współśrodkowe koła:
Każda tratwa T(a) przepłynie zakręt (prawa podstawa zaczyna skręcać, gdy tylko stanie się to możliwe).
W szczególności tratwa T(0) jest półkolem o promieniu 1/2. Tratwa T(1) ma pole powierzchni:
a więc większe niż wcześniej zaprezentowana tratwa „motylkowa”. Można jeszcze więcej. Interesuje nas największe pole tratwy T(a). Optymalne a może nie dać się wyznaczyć elementarnie. Za pomocą komputera można obliczyć, że jest to około 0,700196379 i wówczas pole tratwy wynosi około 1,948989617.
Okazuje się jednak, że większe pole można uzyskać, łącząc różne kształty. Przykład „motylkowej” tratwy pokazany powyżej można uogólnić, oddalając od siebie jej połówki i wstawiając coś pomiędzy nie. Może to być np. prostokąt o bokach:
Otrzymujemy wtedy tratwę jak na rysunku:
Jej pole wynosi
i przekracza pole największej dotychczas skonstruowanej w naszych rozważaniach tratwy T(a).
Można też podzielić półkole na dwie części i wstawić coś w środek. Naturalnym pomysłem jest wstawienie prostokąta z wyciętym półkolem:
Każda taka tratwa przepłynie zakręt, więc poszukajmy wartości t, dla której ma ona maksymalne pole. Pole środkowej części to
co jest maksymalne dla
Wówczas cała tratwa ma pole
Zajmijmy się teraz górnym oszacowaniem wielkości tratw. Można pokazać, że każda dostatecznie duża tratwa, w szczególności tratwa o maksymalnym polu, przepływając przez zakręt obraca się** o co najmniej 45°. Zatem w pewnej chwili czasu tratwa będzie obrócona o 45° (tratwa obraca się w sposób ciągły, więc funkcja przypisująca wartości t miarę kąta między tratwą a brzegiem rzeki w chwili t jest ciągła, a więc ma własność Darboux). Jeśli tratwa jest obrócona o 45°, to znajduje się w pasie o szerokości 1 nachylonym pod katem 45° do brzegów rzeki. Część wspólna takiego pasa z rzeką może być trójkątem prostokątnym równoramiennym, trapezem równoramiennym lub różnicą trapezu równoramiennego i trójkąta prostokątnego równoramiennego:
Nietrudno sprawdzić, że największe pole otrzymamy w tym ostatnim przypadku i to w sytuacji „zdegenerowanej”:
Reasumując, maksymalne pole dobrej tratwy (formalnie: kres górny pól dobrych tratw) jest pewną liczbą rzeczywistą z przedziału
Jaka konkretnie? Prawdopodobnie odpowiedź nie jest znana.
Tekst: Krzysztof Kamiński
*naturalne koryto rzeki nie zakręca pod kątem prostym
**małe tratwy, np. kwadrat 1×1, przepływają bez obracania się
Źródło zdjęcia:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2006-07-17_moselschleife_bremm_hochkessel.jpg. Fot. Axel Mauruszat (Mozela)
