W tytule występuje oczywiście liczba 2015, przedstawiona w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych. Matematycy często dla zabawy używają tego rodzaju przedstawień, składając życzenia noworoczne lub urodzinowe.

Gdy widzimy tego rodzaju zapis, nasuwa się naturalne pytanie: reguła czy wyjątek?

To znaczy – czy możliwość przedstawienia liczby naturalnej w postaci sumy kwadratów czterech liczb całkowitych (krócej: sumy czterech kwadratów) jest jakąś wyjątkową własnością, którą mają tylko niektóre liczby, w tym 2015, czy może to być „uniwersalna” własność wszystkich liczb naturalnych?

Okazuje się, że w tym przypadku mamy do czynienia z tą drugą możliwością. W 1770 roku Joseph Louis Lagrange udowodnił, że każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów.

Nasuwa się teraz kolejne pytanie: czy nie wystarczą trzy kwadraty? Okazuje się, że nie – łatwo zauważyć, że np. liczby 7 nie przedstawimy w postaci sumy trzech kwadratów. W takim razie można postawić problem scharakteryzowania wszystkich liczb naturalnych, których nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów. Po raz pierwszy rozstrzygnął go Adrien-Marie Legendre około 1798 roku. Udowodnił on, że liczby, których nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów, to wyłącznie liczby postaci 4ª(8b+7), gdzie a i b są liczbami całkowitymi nieujemnymi (np. dla a=b=0 otrzymujemy liczbę 7 – wspomniany wcześniej przykład najmniejszej liczby, której nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów). Oto 10 najmniejszych takich liczb: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63.

Niektóre liczby naturalne są sumami dwóch kwadratów. Tu charakteryzacja była znana dawniej: nieparzysta liczba pierwsza jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy daje ona z dzielenia przez 4 resztę 1 (twierdzenie Pierre de Fermata z 1640 roku, wcześniej taką hipotezę postawił Albert Girard), a stąd można wywnioskować, że liczba naturalna n jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze każdy dzielnik pierwszy dający z dzielenia przez 4 resztę 3 występuje z parzystym wykładnikiem.

Przykłady:

Liczba n = 13 068, której rozkład na czynniki pierwsze jest następujący:

n = 2² · 3³ · 11² nie jest sumą dwóch kwadratów, ponieważ liczba 3 (która dzielona przez 4 daje resztę 3) ma wykładnik nieparzysty.

Liczbę n = 4356 można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów, ponieważ jej rozkład na czynniki pierwsze jest następujący: n = 2² · 3² · 11² (wykładniki przy liczbach 3 i 11 są parzyste).

Zachęcamy Czytelników do sprawdzenia, czy liczba 2015 jest sumą dwóch lub trzech kwadratów i do znalezienia kilku innych niż podany w tytule rozkładów na sumę czterech kwadratów.

Na zakończenie dwie ciekawostki:

• O powyższym odkryciu Fermat poinformował w liście swojego przyjaciela Marina Mersenne (zakonnika i filozofa, ale też matematyka). Na liście tym widniała data 25 grudnia 1640 roku. Z tego powodu twierdzenie Fermata o sumach dwóch kwadratów bywa nazywane „świątecznym twierdzeniem Fermata” (ang. Fermat's Christmas Theorem).
• Dla matematyków (a także dla specjalistów z dziedzin pokrewnych, np. kryptografii) najważniejsze z wymienionych są dwa twierdzenia: Fermata (o sumach dwóch kwadratów) i Lagrange'a (o sumach czterech kwadratów). Twierdzenie Legendre'a (o sumach trzech kwadratów) jest ciekawym osiągnięciem uzupełniającym tę wiedzę, ale nie odgrywa tak znaczącej roli.

Tekst: Krzysztof Kamiński

Bibliografia:

[1] K. Kamiński, Od ciekawostek do konkursu matematycznego, Aksjomat, Toruń 2015..

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

[3] http://pl.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

Fot. Mateusz Kamiński, źródło: https://www.flickr.com, dostęp: 08.01.15