Matematycy nieustannie poszukują prawidłowości i harmonii, opisując matematycznie zjawiska i procesy, formułując reguły. Filozofowie próbują odnaleźć prawa rządzące światem. Obie dziedziny nauki łączy bardzo wiele, między innymi jedni i drudzy zajmują się fraktalami.
Matematycy niechętnie podają definicję fraktala, a jeśli ją podają to nie jest bardzo prosta. W najprostszych słowach można powiedzieć, że fraktale cechują się samopodobieństwem, tworzą uporządkowane struktury. Matematycy starają się opisać je wzorami, bądź odkryć w już istniejących i opisanych fraktalach nowe zależności matematyczne. Filozofowie doszukują się w budowie wszechświata fraktalnych struktur.
W artykule chcemy Was zapoznać z jednym z lepiej znanych i zbadanych fraktali – z trójkątem Sierpińskiego (inaczej uszczelką Sierpińskiego). Co ciekawe jego konstrukcję podał wybitny polski matematyk, profesor uniwersytetów we Lwowie i Warszawie, jeden z twórców współczesnej teorii liczb, wychowawca wielu wybitnych matematyków polskich, wspaniały popularyzator matematyki, Wacław Sierpiński prawie 100 lat temu – w 1915 roku. Chociaż trójkąt ten swą nazwę zawdzięcza Wacławowi Sierpińskiemu, to znany był już wiele wieków wcześniej. Podobną figurę można podziwiać na mozaice zdobiącej podłogę kościoła w Anagni (Włochy) zbudowanego około 1104 r.
Mozaiki w katedrze w Anagni we Włoszech (po lewej fraktal Sierpińskiego, po prawej inne motywy fraktalne. Fot. Dietrich Stauffer, H. Eugene Stanley „Od Newtona do Mandelbrota” (lewe), Romanus_too, źródło: https://www.flickr.com (prawe), dostęp 19.12.2014
Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego jest bardzo prosta. Z trójkąta równobocznego wycinamy mniejszy trójkąt równoboczny, wierzchołkami którego są środki jego boków (1).
Zostaną trzy identyczne trójkąty równoboczne o bokach dwa razy krótszych od boków trójkąta wyjściowego (2).
W drugim kroku powtarzamy tę czynność, wycinając środkowe trójkąty z trzech pozostałych. Mamy dziewięć trójkątów o bokach cztery razy krótszych od boku wyjściowego trójkąta (3).
Powtarzamy tę procedurę po raz trzeci (4) ... po raz czwarty (5) ... po raz piąty (6). Powtarzamy ją nieskończenie wiele razy.
Dlaczego fraktal? Jeszcze raz – fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) – żeby jakiś obiekt był fraktalem, każdy jego kawałek musi przypominać całość. Trójkąt Sierpińskiego jest wspaniałą ilustracją takiego idealnego samopodobieństwa.
Trójkąt Sierpińskiego można uzyskać z trójkąta Pascala, zastępując w nim każdą liczbę nieparzystą jedynką, a parzystą zerem. Ale o tym opowiemy w innym artykule…
Tekst: Jadwiga Kalabińska, redakcja
W załączeniu prezentacja, z której można skorzystać na przykład na lekcji matematyki. Na jej podstawie powstał niniejszy artykuł.
Literatura:
Tony Crilly „50 teorii matematycznych”
Dietrich Stauffer, H. Eugene Stanley „Od Newtona do Mandelbrota”
Załączniki
Galeria zdjęć
