Trójkąt Pascala i jego właściwości - Artykuły naukowe

W artykule, który ukazał się niedawno na portalu EDUSCIENCE Fraktale – matematyka czy filozofia? wspomnieliśmy, że trójkąt Sierpińskiego można uzyskać z trójkąta Pascala, zastępując w nim każdą liczbę nieparzystą jedynką, a parzystą zerem. O tym i o samym trójkącie Pascala chcielibyśmy dzisiaj opowiedzieć.

Trójkąt Pascala znany w matematyce pod tą nazwą, został odkryty przez Omara Chajjama około siedemset lat przed urodzeniem się Pascala w 1070 roku. W niektórych krajach trójkąt ten nazywany był potem nazwiskiem Chajjama. W 1303 roku Zhu Shijie zdefiniował ten trójkąt i pokazał, jak sumować niektóre ciągi liczb. W XVII wieku Blaise Pascal wybitny matematyk francuski zajął się ponownie opisem własności trójkąta, miał w tym zakresie duże osiągnięcia. Wyniki jego prac ukazały się drukiem już po jego śmierci w 1664 roku. Pascal pisał, że z pewnością nie zdoła w jednej pracy opisać wszystkich jego własności. Rzeczywiście, miał rację.

Czym jest trójkąt Pascala?

Jest to ciąg liczb ułożony w trójkąt o określonych własnościach matematycznych. Tworzenie trójkąta Pascala zaczynamy od góry. W pierwszym wierszu wstawiamy 1, w następnym – dwie jedynki, we wszystkich kolejnych wierszach jedynki umieszczamy na początku i na końcu każdego wiersza. Zaś w środku wierszy wpisujemy sumy dwóch liczb sąsiadujących z góry – jak pokazano na rysunku 3, nieskończenie wiele razy.

Ryc. 4. Trójkąt Pascala. W kolorowych ramkach pokazano sposób obliczania liczb w kolejnych wierszach. Rys. Jadwiga Kalabińska

Własności trójkąta Pascala

Trójkąt Pascala ma niezwykłe własności. Najbardziej widoczną własnością jest jego symetria. Dzięki temu możemy mówić o „przekątnych” (czyli elementach utworzonych z pierwszych wyrazów kolejnych wierszy, drugich wyrazów kolejnych wierszy itd., które układają się wzdłuż linii prostych – na rysunku 5 zaznaczono je żółtym kolorem). Pod przekątną złożoną z samych jedynek mamy przekątną z kolejnymi liczbami naturalnymi. Pod nią znajdują się liczby trójkątne 1, 3, 6, 10, 15, 21... Są to liczby punktów ułożonych w trójkąty równoboczne o coraz większej podstawie (ryc. 5). W kolejnej linii znajdują się liczby czworościenne.

Ryc. 5. Wybrane własności trójkąta Pascala. Liczby układają się w ciągi o określonych cechach wzdłuż „przekątnych”. Na rysunku zaznaczono je żółtymi liniami. Po prawej stronie – wizualizacja liczb trójkątnych. Rys. Jadwiga Kalabińska

Liczby czworościenne to 1, 4, 10, 20, 35... Odpowiadają liczbie kul, które można ułożyć w „czworościany” (stosy kul o trójkątnej podstawie – jak pokazano na rysunku 6. Można zauważyć, że liczby kul np. w dolnych warstwach kolejnych stosów - to liczby trójkątne, zaś liczby kul w ich krawędziach – to kolejne liczby naturalne.

Ryc. 6. Do ułożenia stosów o trójkątnej podstawie potrzeba kolejno – 1, 4, 10, 20, 35 … kulek. Ile kulek potrzebnych będzie do kolejnego stosu, można odczytać z trójkąta Pascala. Fot. Jadwiga i Jan Kalabińscy

Kolejna właściwość trójkąta Pascala jest też bardzo ciekawa. Sumy liczb wzdłuż czerwonych linii tworzą ciąg 1, 2, 5, 13,... Każda liczba w tym ciągu (za wyjątkiem pierwszych dwóch) jest trzykrotnością poprzedniej minus liczba znajdująca się dwa miejsca wcześniej, np.13 = 3*5 – 2. W podobny sposób otrzymujemy ciąg sum wzdłuż linii niebieskich 1, 3, 8, 21...

Ryc. 7. Sposób otrzymania ciągu Fibonacciego z trójkąta Pascala. Rys. Jadwiga Kalabińska

Zapisując na przemian liczby z pierwszego i drugiego ciągu, otrzymujemy ciąg Fibonacciego, czyli ciąg liczb, w którym kolejne wyrazy (poza pierwszym i drugim, które są równe 1) powstają wskutek sumowania dwóch poprzednich wyrazów. Został on podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim w jego dziele Liber abaci (w tłumaczeniu Księga liczydła lub Księga rachunków – w księdze tej Fibonacci wprowadził po raz pierwszy w Europie cyfry arabskie do systemu dziesiętnego). Ciąg liczb w dziele Fibonacciego stanowił rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

Związek między trójkątem Pascala a symbolami Newtona

Istnieje też związek między trójkątem Pascala a symbolami Newtona. Liczby znajdujące się w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona – rozwinięcia (x+y)n. Przykłady dla siedmiu wierszy (o numerach od 0 do 6) podano na rysunku 7 (przy czym w tym przykładzie y = 1). Wiersze trójkąta Pascala numeruje się od góry – wiersz położony najwyżej z jedną jedynką to wiersz zerowy, kolejny, w którym znajdują się dwie jedynki, to pierwszy wiersz. W drugim wierszu znajdują się kolejno 1, 2, 1 i takie właśnie są współczynniki w dwumianie Newtona.

Ryc. 8. Współczynniki w dwumianie Newtona są takie jak kolejne liczby w wierszach w trójkącie Pascala. Rys. Jadwiga Kalabińska

Zastanówmy się nad następującą sytuacją: jaki współczynnik znajdzie się np. przy x³ w rozwinięciu dwumianu:

Zapiszmy dwumian w następujący sposób:

i zastanówmy się, ile powstanie jednomianów x³ podczas wymnażania wyrażeń w tych nawiasach. Nawiasów mamy 5, i musimy wybrać spośród tych pięciu nawiasów dwa, z których podczas wymnażania weźmiemy jedynki (z pozostałych weźmiemy właśnie , aby otrzymać po wymnożeniu x³). Czyli współczynnik przy x³ po wymnożeniu wszystkich wyrażeń w nawiasach będzie równy liczbie możliwości wyboru wyrażeń z dwóch nawiasów spośród pięciu nawiasów, czyli

Przypomnijmy, że liczba możliwości wyboru k rzeczy spośród n rzeczy jest równa

(jest to tzw. symbol Newtona).

Dany jest on wzorem:

przy czym n! (silnia) oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n, dodatkowo przyjmuje się, że 0! = 1.

Obliczmy, że rzeczywiście

Mianowicie:

Analogicznie można wykazać, że współczynnik w rozwinięciu dwumianu Newtona

W związku z powyższym współczynniki rozwinięcia dwumianu Newtona:

zapisujemy za pomocą symbolu Newtona, otrzymując:

Jeśli przyjmiemy, że x = 1, to:

oznacza liczbę wszystkich możliwych podzbiorów zbioru n-elementowego (obliczamy po kolei liczbę podzbiorów 0-elementowych, 1-elementowych, 2-elementowych, …, n-elementowych, czyli po prostu wszystkich podzbiorów). Z powyższego wzoru otrzymujemy prosty wniosek, że liczba wszystkich możliwych podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi (pamiętajmy, że zbiór pusty również zaliczamy do podzbiorów dowolnego zbioru).

Ponieważ liczby w trójkącie Pascala to symbole Newtona, trójkąt wygląda tak, jak na rysunku 9. Widać pewne ich własności.

Ryc. 9. Trójkąt Pascala, w którym liczby naturalne zapisano za pomocą symboli Newtona. Rys. Jadwiga Kalabińska

Trójkąt Pascala a trójkąt Sierpińskiego

W trójkącie Pascala liczby parzyste, znajdujące się wewnątrz trójkąta tworzą pewien wzór, podobnie jak liczby nieparzyste. Otóż, zastępując każdą liczbę nieparzystą jedynką, a parzystą zerem, otrzymamy pewien wzorzec naśladujący niezwykły fraktal, zwany … trójkątem Sierpińskiego. Trójkąt Sierpińskiego jest jednym z bardziej znanych fraktali.

Ryc. 10. Trójkąt Sierpińskiego powstały po utworzeniu w trójkącie Pascala dwóch zbiorów – liczb parzystych i nieparzystych. Rys. Jadwiga Kalabińska

Jeszcze kilka słów o fraktalach

Do nauki słowo fraktal wprowadził Benoît Mandelbrot, francuski informatyk i matematyk polskiego pochodzenia, w latach siedemdziesiątych XX wieku. Mandelbrot nie był oczywiście ani odkrywcą pierwszego fraktala, ani twórcą pierwszego opisu matematycznego takiej struktury. Jako pierwszy zastosował jednak komputer do badań i wizualizacji fraktali, co znacznie przyspieszyło i zintensyfikowało rozwój nauki o tych obiektach, poszerzyło grono badaczy. Struktury znane wcześniej pod różnymi nazwami, ale spełniające warunki samopodobieństwa zaczęto nazywać fraktalami.

Fraktalami zajmują się zarówno matematycy, fizycy, informatycy, filozofowie, a nawet ekonomiści. Próbują wskazać i opisać samopodobieństwo przenoszone na kolejne generacje elementów budujących pewną całość. Często podawanymi przykładami z natury są warzywa o jadalnych kwiatostanach – romanesco (na marginesie – to jadalna odmiana kapusty warzywnej Brassica oleracea) i kalafior (także jak romanesco – odmiana kapusty warzywnej), a także płatek śniegu. Oczywiście w naturze samopodobieństwo nie jest tak precyzyjne jak w matematyce, a własność całości przenosi się na kolejne, coraz mniejsze części zbioru w sposób skończony (kalafiora w pewnym momencie nie da się podzielić na mniejsze elementy przypominające cały okaz), co jest niezgodne z modelem matematycznym – przenoszeniem samopodobieństwa nieskończenie wiele razy. Ale to nie przeszkadza w doszukiwaniu się kształtu fraktali w świecie natury, w odniesieniu do którego raczej powinniśmy mówić o obiektach fraktalopodobnych. Harmonia i uporządkowanie należą do cech, które uznaje się za estetyczne i uspakajające, dlatego motyw oparty na fraktalach często jest wykorzystywany przez grafików do tworzenia zachwycających ilustracji. Przy czym obrazy tworzone są za pomocą odpowiedniego algorytmu, który pozwala na osiągnięcie efektu w krótkim czasie i zmniejszenie wielkości pliku graficznego ze względu na to, że pewne elementy rysunku powtarzane są niejako automatycznie. Informatycy niekiedy doszukują się powtarzalności struktur przy kompresji danych, zapisując obraz w formie wzorów fraktali.

Nie każdy pewnie wie, że jeden z fraktali większość z nas nosi cały czas przy sobie, przenosi go z miejsca na miejsce, wielokrotnie w ciągu dnia podnosi i przystawia do ucha. Antenę fraktalną ma bowiem wbudowany prawie każdy współczesny telefon komórkowy. Kształt tej anteny jest skomplikowany, wzorowany m.in. na kształcie trójkąta Sierpińskiego lub innego fraktalu, dzięki temu miniaturowa antena znajdująca się wewnątrz aparatu telefonicznego zachowuje się jak duża antena o tradycyjnym kształcie.

Jak widać, trójkąty Pascala i Sierpińskiego mają liczne powiązania z różnymi obszarami matematyki, jak na przykład z geometrią, kombinatoryką czy algebrą oraz z innymi dziedzinami wiedzy. Co więcej, są one świetną ilustracją zawodu matematyka – nieustannego poszukiwania prawidłowości i harmonii, która poszerza nasze rozumienie tej niezwykłej dziedziny wiedzy, a może i świata.

Tekst: Jadwiga Kalabińska, redakcja EDUSCIENCE

Konsultacje: Michał Zwierzyński

Literatura:

Tony Crilly „50 teorii matematyki, które powinieneś znać”, PWN, 2009.

Dietrich Stauffer, H. Eugene Stanley „Od Newtona do Mandelbrota”, WNT, 2006.

http://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_fraktale_i_chaos/fraktale.php?rozdzial=9

http://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3902416